半解析电磁计算笔记（四）：多层介质中偶极子的 Green 张量、衰减率与远场

多层介质中的偶极子：把平面波散射重新组合成辐射场

目的

平面多层结构通过反射与透射改变偶极子的电场分布。散射后返回源处的场改变源向环境输出的功率；向外传播的场决定远场方向图。本篇从频域 Maxwell 方程出发，将这两类结果统一写成 Green 张量的响应，并利用平面波展开调用已有的多层薄板散射程序。

正文依次建立点源响应、角谱分解和结构反馈。完整的符号表、算子证明及阅读路线列在文末附录。

1. 几何与频率约定

各层平行于 – 平面， 为层面法向。点电偶极子位于 ，复峰值偶极矩为 ，观察位置为 。下标 表示源所在的均匀层，下标 表示任意材料层。本文考虑非磁性、各向同性的分层介质；衰减率公式取透明源层。

采用时间因子 ，其中 ， 为角频率。真空波数 $k0=\omega/cjk_j=k_0n_jn_j^2=\varepsilon{rj}c\varepsilon_{rj}$ 为相对介电常数。材料参数及响应均在同一频率下求取。

平行层面的波矢记为 ，其大小为 。相应法向波数为

$$k_{z,j}=\sqrt{k_j^2-\kappa^2},\qquad \mathbf k_j^\pm=(k_x,k_y,\pm k_{z,j}).$$

平方根取出射或衰减分支：透明层的传播分量取 $k{z,j}>0\operatorname{Im}k{z,j}>0$。上下行分别对应正、负法向传播方向。

2. 从 Maxwell 方程到点源 Green 张量

2.1 电场方程与线性响应

记 、 为真空磁导率与介电常数， 为磁场， 为外加源电流密度。频域 Maxwell 方程为

$$\nabla\times\mathbf E=i\omega\mu_0\mathbf H,\qquad \nabla\times\mathbf H=\mathbf J-i\omega\varepsilon_0\varepsilon_r(\mathbf r)\mathbf E.$$

对第一式取旋度、代入第二式并移项，得到电场算子方程

$$\mathcal L\mathbf E=i\omega\mu_0\mathbf J,\qquad \mathcal L=\nabla\times\nabla\times-k_0^2\varepsilon_r(\mathbf r)\mathbf I.$$

这里 为 单位矩阵，旋度算子作用于观察坐标。点偶极子的极化电流为 ，其中三维 Dirac delta 将源局限在 。因此

$$\mathcal L\mathbf E=\mu_0\omega^2\mathbf p\delta(\mathbf r-\mathbf r_0).$$

电场对源的三个分量线性。分别求出沿 方向的点源响应，并将它们排成三列，就定义了电 Green 张量：

$$\boxed{\mathcal L\mathbf G(\mathbf r,\mathbf r_0;\omega) =\mathbf I\delta(\mathbf r-\mathbf r_0),\qquad \mathbf E(\mathbf r;\omega)=\mu_0\omega^2\mathbf G(\mathbf r,\mathbf r_0;\omega)\mathbf p.}$$

表示沿 方向的源对 方向电场的响应，解同时满足界面条件与外部出射条件。在这一约定下， 的单位为 ；右侧的 是三个独立点源的合并写法。 依赖源位置、观察位置与频率，后文固定频率并省略其参数 。

2.2 均匀背景：用标量核构造矢量响应

首先将全空间填充为源层材料，令 为常数。在均匀无源区域，，由旋度恒等式可得各电场分量满足 Helmholtz 方程。点源位置还需保留源的奇性与方向信息。

均匀背景算子的系数为常数，可先求辅助标量点源核：

$$(\nabla^2+k_h^2)g=-\delta(\mathbf r-\mathbf r_0),\qquad g=\frac{e^{ik_hR}}{4\pi R},\quad R=|\mathbf r-\mathbf r_0|.$$

该核是满足出射条件的球面点源解。它为构造电磁响应提供一个已知的空间函数。对它施加矩阵微分算子，可得到均匀源层的电 Green 张量：

$$\boxed{\mathbf G_h^0=\left(\mathbf I+\frac{\nabla\nabla}{k_h^2}\right)g,\qquad (G_h^0)_{ab}=\delta_{ab}g+\frac{\partial_a\partial_b g}{k_h^2}.}$$

， 为单位矩阵的分量； 是二阶偏导矩阵，其第 项为 。加入这一项后，标量核才具有电磁算子要求的方向与纵向响应。记均匀源层算子 ，将上式代入可验证 ，逐项计算见附录 B.4–B.5。

这样，均匀背景的完整点源响应已经确定。下一步通过界面散射补上实际结构的影响。

3. 多层结构中的直接场与散射场

图 1：偶极子位于均匀源层 h。上下结构会反射、透射其角谱；返回波穿过源位置并与源耦合。U、V 是总上下行波，不仅是第一次直接发射。虚线是源参考面，不是材料界面。

3.1 以均匀源层为背景

如果把所有界面移走，让整个空间都填充源所在介质 ，得到直接场与背景 Green 张量。加入实际层结构以后，在源层中写成

$$\boxed{\mathbf G=\mathbf G_h^0+\mathbf G^{sc},\qquad \mathbf E=\mathbf E_h^0+\mathbf E_{sc},\qquad \mathbf E_{sc}=\mu_0\omega^2\mathbf G^{sc}\mathbf p.}$$

上式中 为总响应， 为结构引起的散射修正。固定源层材料时，周围结构的变化全部进入散射项。

总 Green 张量仍满足同样强度的点源方程和实际结构边界条件；在源层邻域把它与背景方程相减，则有 。因此，源的 delta 没有因加入反射层而改变，改变的是满足边界条件的响应。

背景折射率取实际源层的 ；源在真空中时取 。

3.2 源处反馈与功率变化

源给电磁场的平均功率由源处场与源电流决定。下式的 表示共轭转置。将均匀源层贡献解析处理后，环境引起的功率变化是

$$\boxed{\Delta P=\frac\omega2\operatorname{Im} [\mathbf p^\dagger\mathbf E_{sc}(\mathbf r_0)] =\frac{\mu_0\omega^3}{2}\operatorname{Im} [\mathbf p^\dagger\mathbf G^{sc}(\mathbf r_0,\mathbf r_0)\mathbf p].}$$

该式描述源发射、结构散射和返回源处的反馈过程。返回场需要保留复相位；增强或抑制取决于源与返回场的相位关系，不只是反射强度大小。返回场包括上下结构之间的所有往返，不限于一次反射。这里说的散射返回也包含导模和吸收相关的倏逝通道。

给定偶极矩 时，返回电场由 决定。若要重建完整张量，可以分别使用三个独立取向的单位偶极源求出三列。给定取向的总衰减率由这一源处收缩确定。

远场计算则使用各出射方向的源到观察点响应及透射通道。下面的平面波展开同时提供两件事：向源处返回的角谱积分，以及向外出射的方向分量。

4. 点源场的平面波展开

4.1 横向 Fourier 变换

平面结构的材料只随 变化，各横向波矢可独立传播和散射。记 、，对横向坐标作二维 Fourier 展开：

$$g=\int\frac{d^2\mathbf k_\parallel}{(2\pi)^2} \widetilde g(\mathbf k_\parallel;z,z_0) e^{i\mathbf k_\parallel\cdot(\boldsymbol\rho-\boldsymbol\rho_0)}.$$

横向微分变成 ，三维 delta 的横向部分也作相同展开。于是每一个固定横向波矢都满足

$$\left[\frac{d^2}{dz^2}+k_h^2-\kappa^2\right]\widetilde g=-\delta(z-z_0), \quad\text{即}\quad (\partial_z^2+k_{z,h}^2)\widetilde g=-\delta(z-z_0).$$

横向微分由此转化为波数因子，法向依赖仍由微分方程确定。每个分量在源上方取出射 $e^{ik{z,h}(z-z_0)}e^{-ik{z,h}(z-z_0)}$。

4.2 系数 i/(2kz) 来自点源的导数跃变

将一维方程在 至 积分，再令 ，得到

$$\left.\partial_z\widetilde g\right|_{z_0^+} -\left.\partial_z\widetilde g\right|_{z_0^-}=-1.$$

同时标量 g 连续，否则二阶导数会产生方程中没有的 delta 导数。因此可写 $\widetilde g=C e^{ik{z,h}|z-z_0|}2ik{z,h}C=-1$，即

$$\boxed{\widetilde g=\frac{i}{2k_{z,h}}e^{ik_{z,h}|z-z_0|}.}$$

逆变换就恢复三维球面点源解。这组角谱既包含 的传播分量，也包含 的倏逝分量；后者对于近场和返回源处的场尤其重要。

5. 从标量角谱到 s/p 电磁角谱

写 ，定义

$$\mathbf s=(-\sin\phi,\cos\phi,0),\qquad \mathbf e_j^\pm=\frac{(\pm k_{z,j}\cos\phi,\pm k_{z,j}\sin\phi,-\kappa)}{k_j}.$$

这组 p 基矢可整体同时反向而不改变 Green 并矢；此处采用与计算核心一致的相位约定。对源外的每个指数波，，所以

$$\mathbf I+\frac{\nabla\nabla}{k_h^2} \longrightarrow\mathbf I-\frac{\mathbf k_h^\pm(\mathbf k_h^\pm)^T}{k_h^2} =\mathbf s\mathbf s^T+\mathbf e_h^\pm(\mathbf e_h^\pm)^T.$$

得到背景电磁角谱

$$\boxed{\widetilde{\mathbf G}_h^0 =\frac{i}{2k_{z,h}}[\mathbf s\mathbf s^T+ \mathbf e_h^\pm(\mathbf e_h^\pm)^T]e^{ik_{z,h}|z-z_0|}.}$$

上方取 +，下方取 -。复波矢时这里仍是普通转置，不是共轭转置。完整源处分布还含纵向接触项；计算有限的散射自场时，将已知均匀源层奇性解析分离，不在源点数值代入奇异的背景公式。

收缩源指标后，偶极子在两个通道的投影为

$$c_s^+=c_s^-=\mathbf s^T\mathbf p,\qquad c_p^\pm=(\mathbf e_h^\pm)^T\mathbf p,$$ $$c_s=-p_x\sin\phi+p_y\cos\phi,\qquad c_p^\pm=\pm\frac{k_{z,h}}{k_h}(p_x\cos\phi+p_y\sin\phi)-\frac\kappa{k_h}p_z.$$

绝对 Fourier 电场还要乘公共因子 $i\mu0\omega^2/(2k{z,h})$。下面先提出这个因子，分别调用已有多层薄板程序计算每个角谱分量的上下反射与透射，再组成返回场和出射场。

6. 上下堆栈之间的自洽往返

以 标记偏振。对每个横向波矢和每种偏振，设源平面总向上幅值为 U、总向下幅值为 V。上下结构的广义反射系数为 ，透到外部参考平面的系数为 。

如果反射系数最初定义在最近材料界面，源到界面距离分别为 ，应先换参考平面：

$$R_u=\overline R_u e^{2ik_{z,h}d_u},\qquad R_d=\overline R_d e^{2ik_{z,h}d_d}.$$

透射系数则补上单程因子。堆栈内的所有多次反射已经包含在这些系数里。接下来剩下的是上下堆栈之间、经过源层的往返：

$$U=c^++R_dV,\qquad V=c^-+R_uU.$$

第一式表示直接向上发射，加上下行总波经下侧反射后的返回；第二式完全对应。上行波到上侧结构后既有透射也有反射，透射部分 已离开源层，反馈回来的只有 。

解得

$$\boxed{U_\sigma=\frac{c_\sigma^++R_d^\sigma c_\sigma^-}{D_\sigma},\quad V_\sigma=\frac{c_\sigma^-+R_u^\sigma c_\sigma^+}{D_\sigma},\quad D_\sigma=1-R_u^\sigma R_d^\sigma.}$$

D 是两条反馈方程的行列式。 在收敛条件下展开为 ，每个乘积表示再走一整圈上下往返。无需重新枚举每个堆栈内部的路径。

7. 源平面两侧的上下行幅值

除源平面之外，每层仍是 A+B 的源外解。源所在层上半部分的两个幅值是 $A{h,+}=UB{h,+}=RuUA{h,-}=RdVB{h,-}=V$。它们在源平面满足发射跃变

$$A_{h,+}-A_{h,-}=c^+,\qquad B_{h,-}-B_{h,+}=c^-.$$

这里仍省略公共源因子。源平面两侧材料相同，却有点电流源，不能把该平面当成无源材料界面，强行要求每个角谱切向场都无跃变。其余真正的材料界面照常匹配。

8. 从外部角谱取到绝对远场

在上方或下方外部介质 o，观察角相对该侧向外法线定义。远场方向选定

$$\kappa=k_o\sin\theta,\qquad k_{z,o}=k_o\cos\theta.$$

向外的两个偏振系数为 $b\sigma^+=T_u^\sigma U\sigmab\sigma^-=T_d^\sigma V\sigma$。二维驻相计算将角谱积分化为

$$\boxed{\mathbf E_\infty^\pm(\theta,\phi;r) =\frac{\mu_0\omega^2}{4\pi r}e^{ik_or}\frac{k_{z,o}}{k_{z,h}} e^{\mp ik_{z,o}z_b} \left[\mathbf s b_s^\pm+\mathbf e_o^\pm b_p^\pm\right].}$$

是外部透射系数的参考界面；若源与观察侧本就同处一个外层，使用相应源参考平面。该相位对应以全局原点定义的观测距离。场的模不受透明外部参考平面平移影响，但复振幅比较需要保持一致。

其中 $k{z,o}/k{z,h}1/k{z,h}k{z,o}$。不能只保留透射系数而省掉这个比值。源层中倏逝的分量，也可能进入更高折射率基底的传播光锥，所以判断远场通道要看观察介质。

在透明外部介质中，

$$\frac{dP_o}{d\Omega}=\frac{n_or^2}{2Z_0}|\mathbf E_\infty^\pm|^2,\qquad P_{rad}=\sum_{o=u,d}\int\frac{dP_o}{d\Omega}d\Omega.$$

每侧积分覆盖自己的外半球。这给出绝对方向图和逃逸辐射功率，不能由最大值归一化后的图恢复。

这里 是大写的立体角，；小写 始终表示辐射的角频率。o 标记所观察的上侧或下侧外部介质， 为其折射率， 为真空波阻抗，r 为远场观察距离。

9. 总衰减率由返回到源处的场决定

将 Green 张量拆成均匀源层项和散射项：。对于透明非磁性源层，。维持经典偶极子的平均功率是

$$P_{tot}=n_hP_0+\frac\omega2\operatorname{Im}(\mathbf p^\dagger\mathbf E_{sc}),\qquad P_0=\frac{\omega^4\mathbf p^\dagger\mathbf p}{12\pi\varepsilon_0c^3}.$$

此处有共轭转置，因为这是物理做功。均匀介质的发散实自场没有被直接代入；均匀项的有限虚部已解析处理。于是以真空为参考的增强因子为

$$\boxed{F_{tot}=n_h+\frac{6\pi}{k_0} \frac{\operatorname{Im}(\mathbf p^\dagger\mathbf G^{sc}\mathbf p)}{\mathbf p^\dagger\mathbf p}.}$$

平面对称性使重合点散射张量为 $\operatorname{diag}(G\parallel,G\parallel,G_\perp)$。为了把局域结果也写成可计算的式子，定义

$$C_\sigma=\frac{R_u^\sigma+R_d^\sigma+2R_u^\sigma R_d^\sigma}{1-R_u^\sigma R_d^\sigma},\qquad B_p=\frac{R_u^p+R_d^p-2R_u^pR_d^p}{1-R_u^pR_d^p}.$$

将返回源处的 s/p 矢量并矢对方位角积分， 与 的积分均为 ，交叉项为零，得到

$$G_\parallel=\frac{i}{8\pi}\int_0^\infty\frac\kappa{k_{z,h}} \left(C_s-\frac{k_{z,h}^2}{k_h^2}B_p\right)d\kappa,$$ $$G_\perp=\frac{i}{4\pi}\int_0^\infty\frac{\kappa^3}{k_{z,h}k_h^2}C_p\,d\kappa.$$

水平 p 项的负号来自反向 p 波切向基矢的改变；垂直分量的基矢符号相同。若 ，则

$$F_{tot}=n_h+\frac{6\pi}{k_0}\left[(1-w_\perp)\operatorname{Im}G_\parallel+w_\perp\operatorname{Im}G_\perp\right].$$

局域积分包含全部横向波数，不仅是外部的传播光锥。导模或吸收通道也会改变源的做功，所以一般不能令 $F{tot}=P{rad}/P_0$。两者之差在无限平面结构中包含导模与吸收。

10. 与自发辐射及实际计算的关系

弱耦合条件下，量子跃迁偶极矩 的自发辐射率满足

其中 是约化 Planck 常数， 单位为 ， 是真空中的参考速率；这里的角频率仍是前面定义的 。

$$\Gamma=\frac{2\mu_0\omega^2}{\hbar}\mathbf d^\dagger\operatorname{Im}\mathbf G\,\mathbf d, \qquad \Gamma_0=\frac{\omega^3|\mathbf d|^2}{3\pi\varepsilon_0\hbar c^3}.$$

其比值与上述经典功率增强相同。经典峰值相量与量子跃迁偶极矩的绝对归一化见附录 B.6。

局域积分在光锥分支点、导模极点附近需要分段或变形路径，并检查截断与容差。吸收源层内的点偶极子还涉及自场正则化及局域模型，不能简单延用透明源层公式。下一篇在这组明确条件内演示数值实现。

附录 A：阅读路线

图 2：从均匀背景点源响应出发，将场分解为横向波矢确定的 s/p 分量，经多层结构散射后重新组合。返回源处的响应用于总衰减率，外部出射通道用于远场与逃逸辐射功率。左图的圆弧仅示意辅助标量核的等相位面，箭头示意分量的传播路径。

1. 定义响应。 固定频率与材料参数，以三个独立方向的点源定义电 Green 张量。
2. 构造背景。 利用均匀源层已知的标量核与二阶偏导，构造直接电磁场。
3. 展开与散射。 利用平面结构的横向平移对称性作二维 Fourier 变换。每个横向波矢分别求 s/p 上下行波，并调用多层薄板程序得到反射与透射。
4. 组合观测量。 对返回源处的场作角谱积分得到散射自场；对向外传播的分量求远场与功率。两者共享结构响应，积分通道和观测位置不同。

附录 B：点源定义与算子构造的详细核对

B.1 点电流与三个独立源方向

先区分三个容易混淆的符号： 是虚数单位，； 是 3×3 单位矩阵； 是三维 Dirac delta 分布，表示源局限在 。Green 函数是这个点源的响应，不是 delta 本身，也不是单位矩阵。

时间谐波约定。 实际电场是 ， 是复振幅。因此 。这里 是角频率，f 为频率。复数用来同时记录振幅与相位，最终物理场取实部。

非磁性介质中的频域 Maxwell 方程为

$$\nabla\times\mathbf E=i\omega\mu_0\mathbf H,\qquad \nabla\times\mathbf H=\mathbf J-i\omega\varepsilon_0\varepsilon_r(\mathbf r)\mathbf E.$$

、 分别是真空磁导率和真空介电常数， 是相对介电常数；J 是外加源电流密度。对第一式再取旋度，并代入第二式：

$$\begin{aligned} \nabla\times(\nabla\times\mathbf E) &=i\omega\mu_0(\nabla\times\mathbf H)\\ &=i\omega\mu_0[\mathbf J-i\omega\varepsilon_0\varepsilon_r\mathbf E]\\ &=i\omega\mu_0\mathbf J+\omega^2\mu_0\varepsilon_0\varepsilon_r\mathbf E. \end{aligned}$$

由于 、，移项后得到

$$\boxed{[\nabla\times\nabla\times-k_0^2\varepsilon_r(\mathbf r)\mathbf I]\mathbf E =i\omega\mu_0\mathbf J.}$$

括号里的符号是作用于电场的微分算子，后面简称 ； 的意思是先取一次旋度，再对结果取旋度。

点电偶极子的电流。 复偶极矩 的单位是 C m。其极化密度为 ，极化电流为时间导数，所以

$$\mathbf J=\partial_t\mathbf P=-i\omega\mathbf p\delta(\mathbf r-\mathbf r_0).$$

将其代入右侧，注意 ：

$$i\omega\mu_0\mathbf J =(i\omega\mu_0)(-i\omega\mathbf p\delta) =\mu_0\omega^2\mathbf p\delta.$$

于是有源方程是 。这说明偶极矩源对应的前因子是 ，而 是作用于电流源的前因子。

三个独立源方向。 固定源位置 后，电场对 线性。定义三列向量 ，分别满足

$$\mathcal L\mathbf g_x=\widehat{\mathbf x}\delta,\qquad \mathcal L\mathbf g_y=\widehat{\mathbf y}\delta,\qquad \mathcal L\mathbf g_z=\widehat{\mathbf z}\delta.$$

这些解还必须满足实际界面条件与外部出射条件。将它们作为三列排成矩阵：

$$\mathbf G=(\mathbf g_x\ \mathbf g_y\ \mathbf g_z) =\begin{pmatrix}G_{xx}&G_{xy}&G_{xz}\\G_{yx}&G_{yy}&G_{yz}\\G_{zx}&G_{zy}&G_{zz}\end{pmatrix}.$$

把三列的方程同时写出来，才得到

$$\boxed{\mathcal L\mathbf G=\mathbf I\delta,\qquad \mathbf I=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}.}$$

因此右侧 I 只是将 x、y、z 三个独立源方向合并表达。它不是 G 的取值，方程也没有说 G=I。G 的第二个下标是源的方向，第一个是观察电场的方向。例如

$$E_x=\mu_0\omega^2(G_{xx}p_x+G_{xy}p_y+G_{xz}p_z).$$

源方程核对。 定义

$$\boxed{\mathbf E(\mathbf r)=\mu_0\omega^2\mathbf G(\mathbf r,\mathbf r_0)\mathbf p.}$$

微分只作用于观察位置，固定的 p 可以提出，于是

$$\mathcal L\mathbf E=\mu_0\omega^2(\mathcal L\mathbf G)\mathbf p =\mu_0\omega^2\mathbf I\delta\,\mathbf p =\mu_0\omega^2\mathbf p\delta.$$

这与点偶极子的有源方程一致。从电场方程到 Green 方程，是按线性性定义并求解三个点源响应，再组合任意 p，不是把 E 直接替换成 I。

B.2 点源归一化与量纲

在本篇定义下有。delta 满足 ，但其自身单位是 。“单位点源”指积分归一化，并不表示 delta 没有量纲。

含二阶空间微分或波数平方，量纲为 。由 得到

$$[\mathbf G]=\mathrm{m}^{-1}.$$

单位矩阵 I 无量纲；标量辅助函数 也具有 的量纲。不同文献可能把前因子并入 Green 定义，所以必须同时看定义方程与 E 的源关系。

这里 ，再乘 ，得到 ，单位相符。

B.3 均匀背景的标量点源核

源层均匀，指材料系数 不随空间变化，即 ，并非 、、 都为零。平面波 的空间导数也不为零。

引入辅助标量 Green 函数 g，使

$$(\nabla^2+k_h^2)g(\mathbf r,\mathbf r_0)=-\delta(\mathbf r-\mathbf r_0).$$

它在源外满足齐次 Helmholtz 方程，但源处还必须有点源奇性，并满足向外辐射条件。三维均匀空间的解是

$$\boxed{g(\mathbf r,\mathbf r_0)=\frac{e^{ik_hR}}{4\pi R},\qquad R=|\mathbf r-\mathbf r_0|.}$$

这是从点源向外的球面波，不是从原点发出的一束单独平面波。源外球对称径向解给出 ，出射条件排除入射球面波；在源周围小球积分方程得到 ，固定系数为 。如果只解源外齐次方程，就缺少这个源归一化条件。

B.4 二阶偏导矩阵

标量 Helmholtz 方程的 g 已经求出，但电场有三个分量，因此要构造电 Green 张量。先定义两种不同的二阶微分，所有导数都对观察位置 r 求，源位置保持固定。

拉普拉斯算子是各方向二阶导数的和，作用后仍为标量：

$$\nabla^2g=\partial_x^2g+\partial_y^2g+\partial_z^2g.$$

而这里并排的两个梯度表示梯度的并矢算子，作用在 g 上给出二阶偏导矩阵，即 Hessian：

$$\nabla\nabla g=\begin{pmatrix} \partial_x^2g&\partial_x\partial_yg&\partial_x\partial_zg\\ \partial_y\partial_xg&\partial_y^2g&\partial_y\partial_zg\\ \partial_z\partial_xg&\partial_z\partial_yg&\partial_z^2g \end{pmatrix}.$$

因此它不能直接改写成 ：前者保留所有源方向到场方向的分量，后者只是前者对角元素之和。它也不是 、，更不是电场 E 的平方。所有这些对象的运算含义不同。

B.5 电磁 Green 张量的算子验证

源层均匀， 是源层折射率， 为常数。先试最直接的矩阵 ，即把 g 放在三个对角位置。利用矢量恒等式

$$\nabla\times(\nabla\times\mathbf F)=\nabla(\nabla\cdot\mathbf F)-\nabla^2\mathbf F,$$

对 的每一列作用均匀电磁算子 ，得到

$$\mathcal L_h(\mathbf I g) =\nabla\nabla g-\mathbf I(\nabla^2+k_h^2)g =\nabla\nabla g+\mathbf I\delta.$$

相对于目标点源项，右侧还含有二阶偏导矩阵。该矩阵在电磁算子下的作用为：Hessian 的每一列都是某个标量偏导的梯度，而梯度的旋度为零，所以

$$\mathcal L_h(\nabla\nabla g)=-k_h^2\nabla\nabla g.$$

于是加上 ，恰好把多余项消去：

$$\begin{aligned} \mathcal L_h\left(\mathbf I g+\frac{\nabla\nabla g}{k_h^2}\right) &=[\nabla\nabla g+\mathbf I\delta]-\nabla\nabla g\\ &=\mathbf I\delta. \end{aligned}$$

这就推出了

$$\boxed{\mathbf G_h^0=\mathbf I g+\frac{\nabla\nabla g}{k_h^2},\qquad (G_h^0)_{ab}=\delta_{ab}g+\frac1{k_h^2}\partial_a\partial_b g.}$$

这里 ， 是 Kronecker 符号，a=b 时为 1，否则为 0；它是单位矩阵的分量，与有空间单位的 Dirac delta 分布不同。上式是“标量解构造矢量算子的 Green 张量”的逐项验证，不是两个标量函数的乘积。

每个矩阵元素都是函数。例如 ，一般不为零。因此即使介质均匀，G 也不是常数单位阵。标量 g 的球对称性并不意味着矢量偶极子在所有方向产生同样的电场。

这一推导利用源层均匀、k_h 为常数。多层介质的整个 Green 张量不能直接用一个空间变化的 k(r) 代入此式；应将均匀源层结果作为直接项，再通过界面匹配求散射项。背景点源奇性以分布方式处理，不能在 R=0 将 g 的普通函数表达式直接代入。

B.6 背景分解的适用区域与量子归一化

背景直接项包含点源奇性。总场与背景场在源层中具有相同点源项，两式相减得到 。若将均匀源层背景延伸到全空间，源层之外的材料反差对应散射修正的等效源；源层中的齐次结论不能直接延伸到所有材料区域。

对于同一数值 ，经典峰值相量功率和量子跃迁率的绝对归一化满足 。二者相对于各自真空参考值的增强因子相同。

附录 C：符号与单位

符号	定义	单位与含义
	角频率	rad/s，采用时间因子
	虚数单位，	无量纲，用于复振幅与相位
	真空磁导率、真空介电常数	H/m、F/m，
	源层折射率、源层波数	无量纲、1/m，下标 h 表示 host 源层
	真空波数	1/m，不是波矢的某个分量
	第 j 层折射率	无量纲，非磁性时 $nj^2=\varepsilon{rj}$
	第 j 层介质波数	1/m，满足该层的色散关系
	平行层面的坐标	m，与三维位置 r 区分
	平行层面的波矢	1/m，跨所有界面守恒
$\kappa=	\mathbf k_\parallel	$	横向波数大小	1/m，是一个数，不是完整三维波矢
	第 j 层法向波数的出射分支	1/m；上下行分别使用 $+k{z,j}-k{z,j}$
	3×3 单位矩阵	无量纲，与虚数单位 i 不同
	复峰值偶极矩、源电流密度	C m、A/m²
	观察方向的立体角	sr；，不是角频率 omega

参考：Paulus 等，Phys. Rev. E 62, 5797 (2000)；Sipe，JOSA B 4, 481 (1987)；Creatore 与 Andreani，Phys. Rev. A 78, 063825 (2008)。这里的系数、相量与 Fourier 约定已完整给出，引用其他文献时须先核对定义。