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多层介质中的偶极子：把平面波散射重新组合成辐射场目的平面多层结构通过反射与透射改变偶极子的电场分布。散射后返回源处的场改变源向环境输出的功率；向外传播的场决定远场方向图。本篇从频域 Maxwell 方程出发，将这两类结果统一写成 Green 张量的响应，并利用平面波展开调用已有的多层薄板散射程序。 正文依次建立点源响应、角谱分解和结构反馈。完整的符号表、算子证明及阅读路线列在文末附录。 1. 几何与频率约定各层平行于 – 平面， 为层面法向。点电偶极子位于 ，复峰值偶极矩为 ，观察位置为 。下标 表示源所在的均匀层，下标 表示任意材料层。本文考虑非磁性、各向同性的分层介质；衰减率公式取透明源层。 采用时间因子 ，其中 ， 为角频率。真空波数 $k0=\omega/c，第j层波数k_j=k_0n_j，n_j^2=\varepsilon{rj}。c为真空光速，\varepsilon_{rj}$ 为相对介电常数。材料参数及响应均在同一频率下求取。 平行层面的波矢记为 ，其大小为 。相应法向波数为 k_{z,j}=\sqrt{k_j^2-\kappa^2},\qquad \mathbf ...

多层介质：散射矩阵的星积与逐层场恢复目的多层结构可以逐层向外包入：先把末端半空间当作已知响应，再依次加入界面和传播段，直至得到整体散射矩阵。计算内部场时，沿保存下来的子结构响应逐层向内恢复，就像重新剥开已经包好的洋葱。 “包起来”消去内部相向波，留下两端口关系；“剥开来”在指定层重新求出这两个波。两步都使用同一组散射方程，不需要将 S 转换回 T。本文先推导层间连接与场恢复，再介绍多层薄板程序的核心函数及 benchmark。 仅有最终整体 S 的四个元素不能确定所有内部场；还需逐层几何和中间子结构响应。程序因此保存左右累计矩阵。整体 T 也需要相应局部关系才能恢复内部。 1. 每层场与端口的统一定义 图 1：层号由左到右增加，最外为半空间。A 始终朝正 z，B 始终朝负 z；只有在最左、最右外端口，才能将它们分别直接称为外部入射或出射。内部一个 A 波，是左子结构的出射，也是右子结构的入射。 固定横向波数 与一种偏振 s/p，逐通道求解。对于第 j 层，；根取出射或衰减分支。若 A、B 都在参考点 定义， \mathbf E_j(x,z)=e^{i\kappa x}\left[ ...

有限薄板的反射与透射：从逐层 A、B 到 T、S 矩阵目的单个界面已经有了 s、p 两套 Fresnel 系数。一块有限厚度的薄板有两个界面，透入其中的波会来回反射。我们既要算板的总反射、透射，也要知道板内每一个位置的场。 这篇从各层带编号的 A、B 系数开始。先沿传播路径求和，再写稳态关系，最后分别写出传输矩阵 T 和散射矩阵 S 的完整形式。全文 T 专指 transfer matrix，S 专指 scattering matrix；小写 t 是透射振幅，花体 是功率透射率。 1. 三层结构：先给每个波编号 图 1：介质 1 | 介质 2，厚度 d | 介质 3。左界面 z=0，右界面 z=d；z 从左向右。图示左侧入射、右侧无入射的特例 B3=0，但下面先保留一般的 B3，再构造两端口矩阵。图中的传播箭头不是电场矢量方向。 采用上一篇的时间因子、s/p 基矢和非磁性条件。先固定一种偏振 ；所有 A、B 都带有该偏振含义，省略重复的 sigma 下标。 系数 所在介质 传播方向 幅值参考平面 A1 介质 1 正 z，左侧入射 z=0 B1 介质 1 负 z，左 ...

平面波在单个界面上的反射与透射目的在片上光学计算中，我们经常需要把入射光写成已知的背景场。对于空气与玻璃、介质与基底这样的平面结构，背景场可以直接由解析表达式得到。这个问题看起来只是菲涅尔公式，但在真正编程时，偏振方向、复振幅的正方向，以及“透射振幅”和“透射功率”的区别都需要先说清楚。 这篇笔记从一个界面开始。后面讨论薄板、多层结构和偶极子辐射时，都会使用这里的符号。暂时只考虑各向同性、非磁性介质，即两侧磁导率都取真空磁导率。 1. 先规定坐标与偏振方向 图 1：依据作者原笔记的原图重绘成白底双面板。界面为 z=0，介质 1 在下、介质 2 在上，z 由介质 1 指向介质 2，x 向右，正 y 指向纸内。左图为 s 偏振，右图为 p 偏振。蓝色表示电场 E，红色表示磁感应强度 B；本篇非磁性条件下 H=B/mu0，故 H 与红色箭头同向。叉号表示指向纸内，圆点表示指向纸外。所有角度相对界面法线定义。 入射面是入射波矢与界面法线张成的 x-z 平面。因此两种偏振的区别不是传播方向不同，而是电场相对同一个入射面的方向不同： 偏振 电场 磁场 本图中的表示 s（TE） 沿 ...

我们继续讨论 BIC。 在之前的笔记中，我已经从量子力学的角度梳理过一个基础问题：什么是连续谱，什么是束缚态，以及为什么连续谱通常对应延展态。那一套理解，是建立在本征能谱和本征态结构之上的。 但当把视角切换到光学体系，尤其是光子晶体和超表面之后，会发现事情变得不那么直接了。我们依然在使用“连续谱”和“束缚态”这些术语，但它们的含义，已经不再只是能量本身，而是和波矢紧密相关。 这篇笔记希望先把一个最基本的图景建立起来：在光学结构中，我们到底是如何区分连续谱与束缚态的。 从二维薄板说起 先从一个最经典的模型开始：在 平面周期、在 方向有限厚度的二维光子晶体薄板。对于这样的结构，我们通常会画出能带图，横轴是平面内波矢 ，纵轴是频率 。 如果你看过这类能带图，会注意到一个细节：图中往往会有一块区域被“挖掉”或者用阴影表示。这一部分，其实就是光学中的连续谱。 那么问题来了，为什么这里会被称为连续谱？ 从根本上说，这并不是一个“人为划分”的概念，而是来自于自由空间光场的色散关系。在三维空间中，电磁波满足 k_x^2 + k_y^2 + k_z^2 = \omega^2 / c^2.在给定 ...

最近开始和我的合作者研究BIC 了，说来惭愧，这个光学领域的热点，我之前却连基本概念都理解的不清楚。最近系统的看了一些综述论文、报告，总算是理解了背后的奥秘。我觉得我的困惑是具有代表性的，因此也将我的学习心得写在这里，供大家批评指正。 要理解BIC，我们一定得先理解其基本概念， Bound states in the continuum 这其实一共有两个概念：束缚态+连续谱 （当然，这句话像个废话···） 那么什么是连续谱，什么是束缚态呢？大家一定首先会拿出综述文章的这个图 在这个图中，低能量区域，存在分立的束缚态，这种是正常的束缚态。 在能量高的地方，形成了一个连续谱，这里的态密度非常高，情况也很复杂： 首先最多的态，就是延展态，波函数延展到空间里面去。 还有一些半延展、半束缚的态，叫做Leaky Mode（你可以想想一个半透谐振腔，虽然光场也很好的局域，但是还是有泄露通道） 最后，就是完美局域的束缚态了，也是我们的主角。 那么你就会问（我自己之前不太懂）： 为啥一定是高能区域才是连续谱，低能区域局域就没啥问题呢？ 这个连续谱分布，光学里面似乎也不是这样啊？ 是的，这其实是 ...

Optics This note documents my implementation of the transfer matrix method (TMM) and the scattering matrix method (SMM) for plane-wave propagation and scattering in one-dimensional multilayer structures. The focus is on a consistent field-amplitude definition and on numerical robustness when dealing with thick layers, evanescent waves, or large refractive-index contrasts. All MATLAB codes discussed here are available in my GitHub repository. The physical problem considered throughout this note i ...

物理问题来源最近在用非正交基矢处理一些问题，发现我之前的认知比较荒谬，所以写下这个笔记记录一下。 对于某个态 ，假设其可以写成三个归一化态基矢的叠加，且需 $|\psi1\rangle, |\psi_2\rangle之间不正交，但是|\psi_3\rangle和|\psi{1,2}\rangle$ 都正交 |\psi\rangle = \alpha_1 |\psi_1\rangle + \alpha_2 |\psi_2\rangle + \alpha_3 |\psi_3\rangle \tag{1}对于正交的基石，其系数通过基矢和 的内积获得 \alpha_n = \langle \psi_n | \psi \rangle \tag{2}我们只关注编号为 1,2 基矢空间的向量长度，因此我们理论上可以定义一个新的向量 |\psi_{1,2}\rangle = \alpha_1 |\psi_1\rangle + \alpha_2 |\psi_2\rangle \tag{3} |\psi\rangle = |\psi_{1,2}\rangle + \langle \psi | ...

Interview with Shanhui Fan This interview with Shanhui Fan from Stanford University, USA, was recorded as part of the 2017 international symposium “20 Years Nano-Optics”. Q: What was your research field around the year 2000?A: Around year 2000. I was mostly working on photonic crystals. so uh that was probably at the peak of the photonic crystal research. So i was doing a lot of uh theoretical calculation for photonic crystal and trying to figure out how to use these kind of structures for wha ...