半解析电磁计算笔记（一）：平面波在单个界面上的反射与透射

平面波在单个界面上的反射与透射

目的

在片上光学计算中，我们经常需要把入射光写成已知的背景场。对于空气与玻璃、介质与基底这样的平面结构，背景场可以直接由解析表达式得到。这个问题看起来只是菲涅尔公式，但在真正编程时，偏振方向、复振幅的正方向，以及“透射振幅”和“透射功率”的区别都需要先说清楚。

这篇笔记从一个界面开始。后面讨论薄板、多层结构和偶极子辐射时，都会使用这里的符号。暂时只考虑各向同性、非磁性介质，即两侧磁导率都取真空磁导率。

1. 先规定坐标与偏振方向

图 1：依据作者原笔记的原图重绘成白底双面板。界面为 z=0，介质 1 在下、介质 2 在上，z 由介质 1 指向介质 2，x 向右，正 y 指向纸内。左图为 s 偏振，右图为 p 偏振。蓝色表示电场 E，红色表示磁感应强度 B；本篇非磁性条件下 H=B/mu0，故 H 与红色箭头同向。叉号表示指向纸内，圆点表示指向纸外。所有角度相对界面法线定义。

入射面是入射波矢与界面法线张成的 x-z 平面。因此两种偏振的区别不是传播方向不同，而是电场相对同一个入射面的方向不同：

偏振	电场	磁场	本图中的表示
s（TE）	沿 y，垂直入射面，Ez=0	位于 x-z 面内，包含 Hx、Hz	蓝色电场用叉号，红色磁场用面内箭头
p（TM）	位于 x-z 面内，包含 Ex、Ez	沿 y，垂直入射面，Hz=0	蓝色电场用面内箭头，红色磁场用圆点

图中箭头规定复振幅的正方向，不表示复反射系数在所有角度下都为正。若算得负系数，实际场相对该正方向多一个 pi 相位。

采用时间因子 。设两侧折射率为 $n1,n_2k_0=\omega/cn_j^2=\varepsilon{rj}\varepsilon_{rj}$ 是相对介电常数。

入射波、反射波和透射波的波矢分别为

$$\mathbf k_i=(\kappa,0,q_1),\qquad \mathbf k_r=(\kappa,0,-q_1),\qquad \mathbf k_t=(\kappa,0,q_2).$$

界面上任一点的相位必须一致，因此切向波数 在三束波中相同：

$$\kappa=k_0n_1\sin\theta_1=k_0n_2\sin\theta_2, \qquad q_j=\sqrt{k_0^2n_j^2-\kappa^2}.$$

对于传播波，。这里是余弦，因为角度相对法线定义。切向相位匹配也就给出了 Snell 定律。

任意横向偏振可以分解为 s 与 p 两部分。取

$$\mathbf e_s=(0,1,0),\qquad \mathbf e_{pj}^{\pm}=\frac{(\mp q_j,0,\kappa)}{k_0n_j}.$$

这组 p 基矢与图中方向一致：入射与透射电场指向左上，反射电场指向右上。上标 、 分别表示朝正、负 z 传播；s 的两个方向共用同一基矢。特别要注意反射 p 波的 x 分量改变了基矢符号，这是正入射时 r_s 与 r_p 相差一个负号的原因。将所有 p 基矢同时反向，是另一种可用约定；若三个波同步变换，r_p、t_p 及后面 T、S 的数值不变。

2. 电场、磁场与边界条件

对于每一束平面波，Maxwell 方程给出

$$\mathbf H=\frac{\mathbf k\times\mathbf E}{\mu_0\omega}.$$

若使用绝对介电常数和磁导率，传播速度为 ，折射率为 ；非磁性情况下才进一步化为 。这几个量不能混用。

令单位法线 从介质 1 指向介质 2。先写出含自由面电荷密度 和自由面电流密度 的全部四条边界条件：

$$\boxed{\widehat{\mathbf n}\times(\mathbf E_2-\mathbf E_1)=0,\qquad \widehat{\mathbf n}\times(\mathbf H_2-\mathbf H_1)=\mathbf K_f,}$$ $$\boxed{\widehat{\mathbf n}\cdot(\mathbf D_2-\mathbf D_1)=\sigma_f,\qquad \widehat{\mathbf n}\cdot(\mathbf B_2-\mathbf B_1)=0.}$$

其中 、，这里的 epsilon、mu 是绝对材料量。E1、H1 是入射加反射的总场，E2、H2 是透射侧总场，不能只拿入射场去匹配透射场。

本篇界面没有自由面电荷与面电流，。将四条条件按切向与法向展开为

$$\boxed{E_{1x}=E_{2x},\quad E_{1y}=E_{2y},\qquad H_{1x}=H_{2x},\quad H_{1y}=H_{2y},}$$ $$\boxed{\varepsilon_1E_{1z}=\varepsilon_2E_{2z},\qquad \mu_1H_{1z}=\mu_2H_{2z}.}$$

连续的是法向 D、B，并非一般情形下的法向 E、H。本篇 mu1=mu2=mu0，所以法向 H 也连续；不同介电常数下法向 E 一般不连续。极化造成的束缚面电荷已包含在 D 的材料关系中，不能再把它误写成这里的自由面电荷。

下一步对 s、p 分别写出非零分量。所有 E_i、E_r、E_t 都是沿图示正方向的复振幅。

3. s 偏振：由两条边界条件解出两个系数

设入射电场幅值为 ，反射和透射幅值分别为 。省略三束波共有的切向相位，切向电场连续给出

$$E_i+E_r^s=E_t^s.$$

s 电场沿 y。由 得到界面处各磁场分量

$$H_{ix}=-\frac{q_1}{\mu_0\omega}E_i,\qquad H_{rx}=+\frac{q_1}{\mu_0\omega}E_r^s,\qquad H_{tx}=-\frac{q_2}{\mu_0\omega}E_t^s.$$

切向磁场要求 $H{ix}+H{rx}=H_{tx}$，因此

$$q_1(E_i-E_r^s)=q_2E_t^s.$$

法向条件也可逐条核对。s 波的 Ez=0，因此 Dz 连续自动满足；而

$$B_{iz}+B_{rz}=\frac\kappa\omega(E_i+E_r^s),\qquad B_{tz}=\frac\kappa\omega E_t^s.$$

所以法向 B 连续再次给出 ，与切向 E 条件一致。法向条件没有被省掉，只是在这个平面波问题中不再提供独立的振幅方程。

定义 、，两式联立得到

$$\boxed{r_s=\frac{q_1-q_2}{q_1+q_2},\qquad t_s=\frac{2q_1}{q_1+q_2}.}$$

写成折射率和角度的形式就是

$$r_s=\frac{n_1\cos\theta_1-n_2\cos\theta_2} {n_1\cos\theta_1+n_2\cos\theta_2},\qquad t_s=\frac{2n_1\cos\theta_1} {n_1\cos\theta_1+n_2\cos\theta_2}.$$

4. p 偏振：先看清基矢，再写边界条件

按原图的 p 基矢，界面处非零电场分量是

$$E_{ix}=-\frac{q_1}{k_1}E_i,\quad E_{rx}=+\frac{q_1}{k_1}E_r^p,\quad E_{tx}=-\frac{q_2}{k_2}E_t^p,$$ $$E_{iz}=\frac\kappa{k_1}E_i,\quad E_{rz}=\frac\kappa{k_1}E_r^p,\quad E_{tz}=\frac\kappa{k_2}E_t^p.$$

切向电场要求 $E{ix}+E{rx}=E_{tx}$，消去共同负号后得到

$$\frac{q_1}{k_0n_1}(E_i-E_r^p) =\frac{q_2}{k_0n_2}E_t^p.$$

由叉乘计算，三束波的磁场均沿负 y，即图中的纸外方向：

$$H_{iy}=-\frac{n_1}{Z_0}E_i,\qquad H_{ry}=-\frac{n_1}{Z_0}E_r^p,\qquad H_{ty}=-\frac{n_2}{Z_0}E_t^p,\quad Z_0=\mu_0c.$$

切向磁场要求 $H{iy}+H{ry}=H_{ty}$，于是

$$n_1(E_i+E_r^p)=n_2E_t^p.$$

法向磁感应强度为零，故 Bz 条件自动满足。法向 D 连续则是

$$\varepsilon_1\frac\kappa{k_1}(E_i+E_r^p) =\varepsilon_2\frac\kappa{k_2}E_t^p.$$

利用 与 ，它化为 ，与切向 H 的条件一致。至此切向、法向电磁边界条件都已明确写出。

同样联立可得

$$\boxed{r_p=\frac{n_2^2q_1-n_1^2q_2}{n_2^2q_1+n_1^2q_2},\qquad t_p=\frac{2n_1n_2q_1}{n_2^2q_1+n_1^2q_2}.}$$

由于 $nj^2=\varepsilon{rj}$，也可以把反射系数写为

$$r_p=\frac{\varepsilon_{r2}q_1-\varepsilon_{r1}q_2} {\varepsilon_{r2}q_1+\varepsilon_{r1}q_2}.$$

角度形式为

$$r_p=\frac{n_2\cos\theta_1-n_1\cos\theta_2} {n_2\cos\theta_1+n_1\cos\theta_2},\qquad t_p=\frac{2n_1\cos\theta_1} {n_2\cos\theta_1+n_1\cos\theta_2}.$$

这四个系数就是后续计算所需要的单界面结果。使用其他书中的表达式时，应先比较其反射 p 基矢，再比较系数的正负号。

5. 把反射与透射的场写出来

设入射振幅为 ，选定一种偏振 。两侧场分别是

$$\mathbf E_1(x,z)=E_0e^{i\kappa x} \left[\mathbf e_{\sigma1}^{+}e^{iq_1z} +r_\sigma\mathbf e_{\sigma1}^{-}e^{-iq_1z}\right],\quad z<0,$$ $$\mathbf E_2(x,z)=E_0t_\sigma\mathbf e_{\sigma2}^{+} e^{i\kappa x+iq_2z},\quad z>0.$$

s 偏振中两个方向使用相同的 。磁场对每个正、反向项分别使用 ，然后相加。这些复场可以直接作为频域背景场，实际物理场取其乘以 后的实部。

6. 振幅系数不等于功率系数

对于透明介质中的传播平面波，法向平均能流为

$$\langle S_z\rangle=\frac{n\cos\theta}{2Z_0}|E|^2, \qquad Z_0=\mu_0c.$$

因此反射率和透射率是

$$\boxed{\mathcal R_\sigma=|r_\sigma|^2,\qquad \mathcal T_\sigma=\frac{n_2\cos\theta_2}{n_1\cos\theta_1}|t_\sigma|^2 =\frac{q_2}{q_1}|t_\sigma|^2.}$$

这个公式最后一项用于两侧 q 都为正实数的传播情形。不能在吸收介质、倏逝波情形下直接套用透明传播端口的功率解释。需要时应回到 计算指定平面的能流。

7. 三个特殊情况

正入射。 此时

$$r_s=\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2},\qquad r_p=\frac{n_2-n_1}{n_1+n_2},\qquad t_s=t_p=\frac{2n_1}{n_1+n_2}.$$

两个反射振幅相反，而反射率相同。因为正入射时 ，其反射 Cartesian 电场也要乘这个基矢负号，物理结果没有偏振矛盾。空气到 n=1.5 玻璃，、，不是 。

Brewster 角。 对于透明非磁性介质， 给出 。空气到 n=1.5 玻璃，。这时 p 反射消失，s 反射一般不消失。

图 2：空气到 n=1.5 玻璃的角度扫描。曲线由程序实际计算；两种偏振分别满足能量守恒。s、p 反射率在斜入射时明显不同。

全反射。 由高折射率介质入射到低折射率介质，临界角为

$$\theta_c=\arcsin(n_2/n_1),\qquad n_1>n_2.$$

当 ，令

$$q_2=i\alpha,\qquad \alpha=\sqrt{\kappa^2-k_0^2n_2^2}>0.$$

透射侧场含因子 ，所以场仍存在，但沿离开界面的方向衰减。对于两个无损半空间，此倏逝场不携带净法向平均能流，。玻璃 n=1.5 到空气，。

图 3：临界角以上，两种偏振的反射率均为 1；它们的复反射相位仍可能不同。加入第二个相邻界面后，倏逝场可能耦合到另一侧，不能把单界面结论直接移用于有限空气隙。

8. 下一步

单个界面只有一次反射与透射。把两个界面放到一起，透入中间层的波会反复往返。下一篇从这条传播路径开始，推导有限薄板的总反射、总透射和内部场，然后把相同关系写成矩阵。

参考：L. Novotny and B. Hecht, Principles of Nano-Optics，平面界面及角谱相关章节。本文按自己的基矢约定由 Maxwell 边界条件推导；数值图的数据与生成程序随笔记提供。