半解析电磁计算笔记（二）：有限薄板的场、传输矩阵 T 与散射矩阵 S

有限薄板的反射与透射：从逐层 A、B 到 T、S 矩阵

目的

单个界面已经有了 s、p 两套 Fresnel 系数。一块有限厚度的薄板有两个界面，透入其中的波会来回反射。我们既要算板的总反射、透射，也要知道板内每一个位置的场。

这篇从各层带编号的 A、B 系数开始。先沿传播路径求和，再写稳态关系，最后分别写出传输矩阵 T 和散射矩阵 S 的完整形式。全文 T 专指 transfer matrix，S 专指 scattering matrix；小写 t 是透射振幅，花体 是功率透射率。

1. 三层结构：先给每个波编号

图 1：介质 1 | 介质 2，厚度 d | 介质 3。左界面 z=0，右界面 z=d；z 从左向右。图示左侧入射、右侧无入射的特例 B3=0，但下面先保留一般的 B3，再构造两端口矩阵。图中的传播箭头不是电场矢量方向。

采用上一篇的时间因子、s/p 基矢和非磁性条件。先固定一种偏振 ；所有 A、B 都带有该偏振含义，省略重复的 sigma 下标。

系数	所在介质	传播方向	幅值参考平面
A1	介质 1	正 z，左侧入射	z=0
B1	介质 1	负 z，左侧出射	z=0
A2	介质 2	正 z，板内正向波	z=0
B2	介质 2	负 z，板内反向波	z=0
A3	介质 3	正 z，右侧出射	z=d
B3	介质 3	负 z，右侧入射	z=d

下标 1、2、3 是介质层号，不是矩阵行号。标量 B_j 是反向电场振幅，与上一篇加粗的磁感应强度 是不同物理量。

相同横向波数为 ，定义

$$k_j=k_0n_j,\qquad q_j=\sqrt{k_j^2-\kappa^2},\qquad f=e^{iq_2d}.\tag{2.1}$$

2. 把每层的场完整写出来

省略共有的时间因子，但保留横向相位：

$$\begin{aligned} \mathbf E_1(x,z)&=e^{i\kappa x}[A_1\mathbf e_{\sigma1}^+e^{iq_1z} +B_1\mathbf e_{\sigma1}^-e^{-iq_1z}],\quad z<0,\\ \mathbf E_2(x,z)&=e^{i\kappa x}[A_2\mathbf e_{\sigma2}^+e^{iq_2z} +B_2\mathbf e_{\sigma2}^-e^{-iq_2z}],\quad 0<z<d,\\ \mathbf E_3(x,z)&=e^{i\kappa x}[A_3\mathbf e_{\sigma3}^+e^{iq_3(z-d)} +B_3\mathbf e_{\sigma3}^-e^{-iq_3(z-d)}],\quad z>d. \end{aligned}\tag{2.2}$$

这六个系数把入射、出射以及板内两方向的波区分开了。磁场对每一项分别使用 后相加。

例如板内 s 偏振满足

$$\begin{aligned} E_{2y}&=A_2e^{iq_2z}+B_2e^{-iq_2z},\\ H_{2x}&=\frac{q_2}{\mu_0\omega}[-A_2e^{iq_2z}+B_2e^{-iq_2z}],\\ H_{2z}&=\frac\kappa{\mu_0\omega}[A_2e^{iq_2z}+B_2e^{-iq_2z}]. \end{aligned}\tag{2.3}$$

这里及下式省略共有 。按照上一篇原图的 p 正方向，板内 p 场为

$$\begin{aligned} E_{2x}&=-\frac{q_2}{k_2}[A_2e^{iq_2z}-B_2e^{-iq_2z}],\\ E_{2z}&=+\frac\kappa{k_2}[A_2e^{iq_2z}+B_2e^{-iq_2z}],\\ H_{2y}&=-\frac{n_2}{Z_0}[A_2e^{iq_2z}+B_2e^{-iq_2z}]. \end{aligned}\tag{2.4}$$

所以两个矢量波总是相加，但不同 Cartesian 分量里的标量系数可以是 A+B，也可以是 A-B。

3. 两个材料界面各自满足哪些条件？

界面无自由面电荷、无自由面电流。先在左界面 z=0 写总场条件：

$$\begin{aligned} E_{1x}(0)&=E_{2x}(0),&E_{1y}(0)&=E_{2y}(0),\\ H_{1x}(0)&=H_{2x}(0),&H_{1y}(0)&=H_{2y}(0),\\ \varepsilon_1E_{1z}(0)&=\varepsilon_2E_{2z}(0),& \mu_0H_{1z}(0)&=\mu_0H_{2z}(0). \end{aligned}\tag{2.5}$$

右界面 z=d 同样满足

$$\begin{aligned} E_{2x}(d)&=E_{3x}(d),&E_{2y}(d)&=E_{3y}(d),\\ H_{2x}(d)&=H_{3x}(d),&H_{2y}(d)&=H_{3y}(d),\\ \varepsilon_2E_{2z}(d)&=\varepsilon_3E_{3z}(d),& \mu_0H_{2z}(d)&=\mu_0H_{3z}(d). \end{aligned}\tag{2.6}$$

和上一篇一样，每种偏振的两个非零切向条件足以求幅值，其法向条件由 Maxwell 波关系与切向相位匹配同时满足。现在把这些边界关系用单界面 r、t 表示。

4. 左入射薄板：稳态方程与逐路径求和

取 B3=0，暂保留任意入射 A1。将单界面系数 $r{ij},t{ij}$ 定义为从介质 i 入射到介质 j 的电场振幅系数。四条关系为

$$\boxed{\begin{aligned} A_2&=t_{12}A_1+r_{21}B_2,\\ B_2&=r_{23}f^2A_2,\\ B_1&=r_{12}A_1+t_{21}B_2,\\ A_3&=t_{23}fA_2. \end{aligned}}\tag{2.7}$$

第一式表示左界面产生的板内正向波，第二式是后界面反射后返回 z=0 的板内反向波；后两式给出出射。B2 定义在 z=0，所以含完整往返因子 f²。

定义 $g=r{21}r{23}f^2$。解前两式得到

$$\frac{A_2}{A_1}=\frac{t_{12}}{1-g},\qquad \frac{B_2}{A_1}=\frac{t_{12}r_{23}f^2}{1-g}.\tag{2.8}$$

薄板总反射与透射为

$$\boxed{r_L=\frac{B_1}{A_1}=r_{12}+\frac{t_{12}t_{21}r_{23}f^2}{1-g},\qquad t_{L\to R}=\frac{A_3}{A_1}=\frac{t_{12}t_{23}f}{1-g}.}\tag{2.9}$$

也可以沿光的路径理解：第一次透射为 $t{12}t{23}ft{12}t{23}f(1+g+g^2+\cdots)1-g|g|<1$。

本文界面系数满足 $r{ji}=-r{ij}t{ij}t{ji}=1-r_{ij}^2$，故令

$$\Delta=1+r_{12}r_{23}f^2=1-g,$$

有 $rL=(r{12}+r{23}f^2)/\Deltat{L\to R}=t{12}t{23}f/\Delta$。

5. 传输矩阵 T：连接两端的 A、B

5.1 先写一个界面的矩阵

在同一个材料界面上，用边界条件连接两侧系数：

$$\boxed{\begin{pmatrix}A_i^{(b)}\\B_i^{(b)}\end{pmatrix} =T^{(ij)}\begin{pmatrix}A_j^{(b)}\\B_j^{(b)}\end{pmatrix},\qquad T^{(ij)}=\frac1{t_{ij}}\begin{pmatrix}1&r_{ij}\\r_{ij}&1\end{pmatrix}.}\tag{2.10}$$

上标 (b) 表示两侧都取这个界面平面处的幅值。这个矩阵也可从 得到，其中切向场表示为

$$\begin{pmatrix}E_y\\-Z_0H_x\end{pmatrix} =D_j^s\begin{pmatrix}A_j^{(b)}\\B_j^{(b)}\end{pmatrix},\quad D_j^s=\begin{pmatrix}1&1\\q_j/k_0&-q_j/k_0\end{pmatrix},$$ $$\begin{pmatrix}E_x\\Z_0H_y\end{pmatrix} =D_j^p\begin{pmatrix}A_j^{(b)}\\B_j^{(b)}\end{pmatrix},\quad D_j^p=\begin{pmatrix}-q_j/k_j&q_j/k_j\\-n_j&-n_j\end{pmatrix}.\tag{2.11}$$

D 是把波系数变成切向场的辅助矩阵；真正连接界面两侧系数的传输矩阵始终记为 T。

5.2 薄板内的传播与整体 T

板内右端幅值为 、。由右端映射回左端，

$$\begin{pmatrix}A_2\\B_2\end{pmatrix} =P_2\begin{pmatrix}A_2(d)\\B_2(d)\end{pmatrix},\qquad P_2=\begin{pmatrix}f^{-1}&0\\0&f\end{pmatrix}.\tag{2.12}$$

连上左右两个界面，完整薄板的传输关系是

$$\boxed{\begin{pmatrix}A_1\\B_1\end{pmatrix} =T\begin{pmatrix}A_3\\B_3\end{pmatrix},\qquad T=T^{(12)}P_2T^{(23)} =\begin{pmatrix}T_{11}&T_{12}\\T_{21}&T_{22}\end{pmatrix}.}\tag{2.13}$$

带括号上标的 指界面 i→j 的整块矩阵；带双下标的 $T{11},T{12},T{21},T{22}$ 只指整体 T 的四个元素。相乘后得到显式结果：

$$\boxed{T=\frac1{t_{12}t_{23}} \begin{pmatrix} f^{-1}+r_{12}r_{23}f&r_{23}f^{-1}+r_{12}f\\ r_{12}f^{-1}+r_{23}f&r_{12}r_{23}f^{-1}+f \end{pmatrix}.}\tag{2.14}$$

单位左入射是 ，因此

$$\begin{pmatrix}1\\r_L\end{pmatrix}=T\begin{pmatrix}t_{L\to R}\\0\end{pmatrix},\qquad t_{L\to R}=\frac1{T_{11}},\quad r_L=\frac{T_{21}}{T_{11}}.\tag{2.15}$$

这里 T 两端各包含一个正向波和一个反向波，不是把“两侧入射”直接映射到“两侧出射”。

6. 散射矩阵 S：连接入射与出射

图 2：左右两图是同一个薄板、同样四个波，箭头方向没有变化。蓝色标出物理入射 A1、B3，橙色标出物理出射 B1、A3。区别只在矩阵如何整理未知量：左图 T 把同一参考平面的 A/B 放进同一个列向量，右图 S 把入射放一组、出射放一组。T 公式右端的 A3 虽是该公式的自变量，却仍是物理上的右侧出射波；不要把“等式右端”一概理解成“入射”。

比较	传输矩阵 T	散射矩阵 S
列向量如何分组	同一平面的正反向波	两端的入射波、两端的出射波
右侧列向量	(A3,B3)，同在右参考面	(A1,B3)，分别从左右入射
左侧列向量	(A1,B1)，同在左参考面	(B1,A3)，分别向左右出射
串接两个结构	普通矩阵乘法 T_X T_Y	消去连接处相向波后的星积，详见下一篇

两套矩阵都由同一组电磁边界条件得到，并非分别代表“只有传播”与“只有反射”。下一篇从连接图推导星积的四个元素及内部场恢复。

6.1 明确谁是入射、谁是出射

左侧入射是 A1，右侧入射是 B3；左侧出射是 B1，右侧出射是 A3。于是

$$\boxed{\begin{pmatrix}B_1\\A_3\end{pmatrix} =S\begin{pmatrix}A_1\\B_3\end{pmatrix},\qquad S=\begin{pmatrix}r_L&t_{R\to L}\\t_{L\to R}&r_R\end{pmatrix}.}\tag{2.16}$$

逐行展开就是 $B1=r_LA_1+t{R\to L}B3A_3=t{L\to R}A_1+r_RB_3$。因此左入射只取 S 的第一列，右入射取第二列。

6.2 单界面与传播段的 S

在同一界面平面上，

$$\begin{pmatrix}B_i^{(b)}\\A_j^{(b)}\end{pmatrix} =S^{(ij)}\begin{pmatrix}A_i^{(b)}\\B_j^{(b)}\end{pmatrix},\qquad S^{(ij)}=\begin{pmatrix}r_{ij}&t_{ji}\\t_{ij}&r_{ji}\end{pmatrix}.\tag{2.17}$$

对板内传播段，

$$\begin{pmatrix}B_2(0)\\A_2(d)\end{pmatrix} =S_{prop}\begin{pmatrix}A_2(0)\\B_2(d)\end{pmatrix},\qquad S_{prop}=\begin{pmatrix}0&f\\f&0\end{pmatrix}.\tag{2.18}$$

注意 S 的传播块两侧都是单程因子 f，而 T 中的 P 包含 。它们描述同一段传播，只是已知量和未知量的排列不同。

6.3 完整薄板 S 的四个元素

由左、右两种入射分别求解，得到

$$\boxed{S=\frac1\Delta \begin{pmatrix} r_{12}+r_{23}f^2&t_{32}t_{21}f\\ t_{12}t_{23}f&-r_{23}-r_{12}f^2 \end{pmatrix},\qquad \Delta=1+r_{12}r_{23}f^2.}\tag{2.19}$$

一般情况下不能直接把 S 的两个透射元素写成相同值，因为这里使用电场幅值，并未做功率归一化。两侧介质相同的互易薄板才有 $t{L\to R}=t{R\to L}$。所有单界面 r、t 在 s、p 情形下分别代入上一篇对应的结果。

7. 两种矩阵如何互相转换？

从式 (2.13) 的第一行解 A3，再代入第二行，得到

$$\boxed{S=\frac1{T_{11}}\begin{pmatrix}T_{21}&\det T\\1&-T_{12}\end{pmatrix}.}\tag{2.20}$$

反过来，由式 (2.16) 的第二行解 A1，再代入第一行，得到

$$\boxed{T=\frac1{S_{21}}\begin{pmatrix}1&-S_{22}\\S_{11}&-\det S\end{pmatrix}.}\tag{2.21}$$

这些转换要求相应分母非零；严格零透射点应使用原始边界关系或极限处理。S 块连接时不是直接普通矩阵相乘，需要消去内部相向传播波；下一篇再推导其递推。

8. 一个可以直接手算的数值例子

空气 | n=1.5、d=100 nm 玻璃 | 空气，真空波长 600 nm，正入射 s 偏振，A1=1、B3=0。此时 ，各层系数为

$$A_1=1,\quad B_1=-\frac5{13},\qquad A_2=\frac{10}{13},\quad B_2=-\frac2{13},\qquad A_3=\frac{12i}{13},\quad B_3=0.\tag{2.22}$$

对应的两个完整矩阵也能明确写出：

$$\boxed{T=\frac{i}{12}\begin{pmatrix}-13&-5\\5&13\end{pmatrix},\qquad S=\frac1{13}\begin{pmatrix}-5&12i\\12i&-5\end{pmatrix}.}\tag{2.23}$$

可以分别代入式 (2.13) 与 (2.16)，检查每行结果。还可以检查前表面的切向场：。功率为

$$\mathcal R=\frac{25}{169}\approx0.147929,\qquad \mathcal T=\frac{144}{169}\approx0.852071,\qquad \mathcal R+\mathcal T=1.\tag{2.24}$$

图 3：左图扫描波长，右图为 600 nm 时的电场强度，虚线为两个界面。左侧为入射与反射驻波，板内为 A2、B2 的解析叠加，右侧为单向出射。数值曲线来自实际程序，矩阵与六个场系数还可用本篇的分数形式单独核对。