光学BIC 学习之基本概念：光学连续谱、束缚态

我们继续讨论 BIC。

在之前的笔记中，我已经从量子力学的角度梳理过一个基础问题：什么是连续谱，什么是束缚态，以及为什么连续谱通常对应延展态。那一套理解，是建立在本征能谱和本征态结构之上的。

但当把视角切换到光学体系，尤其是光子晶体和超表面之后，会发现事情变得不那么直接了。我们依然在使用“连续谱”和“束缚态”这些术语，但它们的含义，已经不再只是能量本身，而是和波矢紧密相关。

这篇笔记希望先把一个最基本的图景建立起来：在光学结构中，我们到底是如何区分连续谱与束缚态的。

从二维薄板说起

先从一个最经典的模型开始：在平面周期、在方向有限厚度的二维光子晶体薄板。对于这样的结构，我们通常会画出能带图，横轴是平面内波矢，纵轴是频率。

如果你看过这类能带图，会注意到一个细节：图中往往会有一块区域被“挖掉”或者用阴影表示。这一部分，其实就是光学中的连续谱。

那么问题来了，为什么这里会被称为连续谱？

从根本上说，这并不是一个“人为划分”的概念，而是来自于自由空间光场的色散关系。在三维空间中，电磁波满足

$k_x^2 + k_y^2 + k_z^2 = \omega^2 / c^2.$

在给定和的情况下，的性质决定了这个模式是否会向外辐射。如果是实数，说明波可以在方向传播，能量可以泄露到远处；如果是虚数，则意味着场在远离薄板时呈指数衰减，对应的是被约束的模式。

把这个条件整理一下，就得到一个非常关键的边界：

$\frac{\omega}{c} = \sqrt{k_x^2 + k_y^2}.$

这条边界在三维空间中对应一个锥面，也就是所谓的“光锥”。

连续谱束缚态

一旦引入光锥，连续谱与束缚态的划分就变得非常清晰了。在光锥内部，是实数，对应的是可以向自由空间辐射的模式，也就是连续谱；而在光锥之外，变成虚数，模式在方向被束缚，对应束缚态。

如果把这个三维光锥在能带图中取一个截面，就会得到一个倒三角形区域：三角形内部是连续谱，外部是束缚态。

光锥 2

这里其实隐含着一个很重要但不太直观的结论：我们完全可以不看模场分布，仅仅通过波矢与频率的关系，就判断一个模式是否会泄露。

但到这里，我当时遇到一个非常困惑的问题：既然说是“束缚态”，为什么它的场分布在平面内看起来一点也不局域？

后来才意识到，这里的“束缚”其实是有方向性的。在这个结构中，方向是无限延展的，因此模式天然是 Bloch 延展态；所谓的束缚，仅仅发生在方向。

也就是说，这其实是一个“一维约束”的问题，而不是三维局域问题。光学中的 BIC，大多数时候讨论的都是这种情形：在某个方向上完全不辐射，但在另外的方向上仍然是延展的。

这个区别如果不想清楚，后面看很多文章时就会一直觉得“这个态看起来根本不局域”。

从光锥的角度再往前走一步，其实可以更本质地理解“连续谱”的含义。所谓连续谱，并不是单纯指频率连续，而是意味着：对于这个频率和波矢，存在一组自由空间模式可以与之匹配，从而把能量带走。

这也表明：在这样的薄板结构中，几乎不可能存在一个在所有波矢下都完全不泄露的模式。一旦某个模式的频率进入光锥，它就具备了向外辐射的可能性（当然，是不是会辐射还是得看场分布和Q 值）。

仅仅通过光锥，我们只能判断“是否允许辐射”，但不能判断“是否真的在辐射”。要进一步区分，除了直接看场分布，还可以看复本征频率。在采用 outgoing wave 边界条件时，本征频率一般是复数：

$\omega = \omega_r + i\omega_i.$

其中虚部描述的就是辐射损耗。如果，模式会随时间衰减；而如果在开放系统中仍然得到纯实数本征频率，就意味着这个模式完全不向外辐射。实际计算中，更常用的是 Q 值：

$Q = \frac{\omega_r}{2|\omega_i|}.$

因此在寻找 BIC 时，通常会同时看两张图：一张是能带图，一张是 Q 因子分布。如果一个模式位于光锥内部，却对应极高甚至发散的 Q 值，那么这正是 BIC 的典型特征。

前面的结构只在方向上提供约束。如果我们在平面内再引入限制，比如从二维周期结构中“切”出一条纳米梁，那么系统就变成了在两个方向上受限的波导结构。

这时的判据本质上是类似的，只不过角色发生了变化。现在我们关注的是传播方向上的波矢与真空波矢的关系。当时，横向波矢为虚数，模式被束缚；反之则可以向外辐射。

虽然表达形式不同，但背后的物理其实完全一致：都是在判断某个方向上的波矢是实数还是虚数。

如果把这个问题换一个角度来看，会发现它和我们熟悉的光纤或平板波导色散图其实是一回事。

在波导问题中，我们通常是固定频率，求解传播常数（）。这时也会出现一条类似“光线”的边界：在这条线之上是导模，在其下方则是辐射模。

和光子晶体能带图相比，两者的区别主要在于求解方式不同：前者是给定频率求波矢，后者是给定波矢求频率。从形式上看，确实可以通过坐标交换互相对应，但物理问题本身并不完全相同。

通过上述内容可以知道，在光学体系中，连续谱与束缚态的区分，不再是像量子力学中一样，看某个粒子的能量高低，而是要通过光锥来进行区分，这综合了考虑波矢、频率的对应关系，但光锥提供了一个几何上的判据，而复频率与 Q 值则提供了更加本征的判据。

BIC 的特殊之处在于，它位于连续谱之中，却由于干涉或对称性等原因完全抑制了辐射，从而表现出无限大的 Q 值。

最后再强调一点：光学中的“束缚态”，往往并不是三维完全局域的模式，而只是某些方向上不向外辐射。这一点和量子力学中理想化的束缚态模型是不同的。