BIC的前世今生之“量子前世”

最近开始和我的合作者研究BIC 了，说来惭愧，这个光学领域的热点，我之前却连基本概念都理解的不清楚。最近系统的看了一些综述论文、报告，总算是理解了背后的奥秘。我觉得我的困惑是具有代表性的，因此也将我的学习心得写在这里，供大家批评指正。

要理解BIC，我们一定得先理解其基本概念，

Bound states in the continuum

这其实一共有两个概念：束缚态+连续谱

（当然，这句话像个废话···）

那么什么是连续谱，什么是束缚态呢？大家一定首先会拿出综述文章的这个图

在这个图中，低能量区域，存在分立的束缚态，这种是正常的束缚态。

在能量高的地方，形成了一个连续谱，这里的态密度非常高，情况也很复杂：

1. 首先最多的态，就是延展态，波函数延展到空间里面去。

2. 还有一些半延展、半束缚的态，叫做Leaky Mode（你可以想想一个半透谐振腔，虽然光场也很好的局域，但是还是有泄露通道）

3. 最后，就是完美局域的束缚态了，也是我们的主角。

那么你就会问（我自己之前不太懂）：

为啥一定是高能区域才是连续谱，低能区域局域就没啥问题呢？

这个连续谱分布，光学里面似乎也不是这样啊？

是的，这其实是我最开始疑惑的地方，啥叫连续谱啊？

这其实是量子力学没学好综合征。

在量子力学里面，我们会有一个经典模型，叫做无限深势阱，就是下面这样的一个东西，通过求解这个系统的本质能谱和对应的波函数，我们其实就可以很清楚的知道，啥叫连续谱了。这也是这个笔记的核心内容，即搞清楚光学BIC 的量子前世。

一维无限深势阱模型

如上图所示，我们用一维的无限深势阱模型来说明：

一维无限深势阱模型，其势能表示为

$$V(x) = \begin{cases} - V_0, & |x| < a \\ 0, & |x| > a \end{cases}$$

其中会取得非常大，其中的粒子满足薛定谔方程

$$-\frac{d^2 \psi}{dx^2} + V(x)\psi = E\psi$$

接下来我们需要求解这个粒子的本征能谱和波函数，如何求解呢？可以借用我之前的笔记，即通过差分法，来计算本征波函数。

得到的本征能谱如下：

左边的图，是将所有的能量总小到大绘制出来，右边的红色横线，其实就是为了直观，将能量的分布用横线的方式进行了绘制，横线越密集，代表态越多。观察以上本征能谱，我们可以发现，本征能谱分为两个区域：

在能量小于 0 的区域，能级是分立的，只有三个能级；

在能量大于 0 的区域，能级非常稠密，这个稠密的区域，其实就是连续谱，啥叫连续？就是能级靠的如此近，以至于像一个连续的区域。

这里还只是看能谱，如果我们看不同能级的本征态，就可以更加理解，为啥叫束缚态、延展态，首先看三个能量小于 0 的本征态：

可以看到，三个态都是局域的、束缚的。而能量大于 0 的态呢？

全部都是延展的。因此，通过这个无限深势阱模型，我们有了这样的结论：

一般来说，系统的能谱可以分为两个典型区域，即能量小于 0 的区域，这个区域，由于能量太小，所以粒子的本征态是局域的，出不去的。

一旦这个粒子的能量E高过0，那么粒子就可以跑出这个势阱，跑到非常远的地方。

当然，关于这个结论，可以参见复旦大学石磊老师的PPT 和报告：

《月盈则亏，水满则溢》

一旦能量很高，粒子就可以跑出来，并且能量高之后，边界的约束性质就会变弱，此时能量就不再是那种分立谱，而是连续谱，即基本上取连续的能量，都可以延展。

特殊势阱分布构建BIC

针对上述结论，冯诺依曼和维格娜两人，提出，可以通过合理构建我们的势能函数，让系统在连续谱里面也存在束缚态，这就是最早的连续谱中的束缚态模型：

这也是一般综述文献会重点提及的工作：

那么他们是怎么做的呢？他们的出发点是，如果要在连续谱中存在束缚态，就得让这个本征态的波函数是可积的，不发散的，基于此，他们反向推导了一个势能函数：

$$V(r) = k^2 + \frac{u''(r)}{u(r)}\\$$

其中

$$u(r) = \sin(k r)f(r) \\ f(r) = \frac{1}{1 + c \int_0^r \sin^2(k s), ds}$$

这个函数的分布长啥样呢？

有点奇形怪状的，当我们求解这个函数下的本征能谱和本征态时，我们发现，

其所有能量都大于 0 了，特别的，我还标注了一个蓝色的能级，这个能级其本征态虽然看起来在连续谱中，但是其本征态确实束缚的。我们首先看大部分的连续谱态的波函数，基本都是延展的

但是也存在一个态，其本征态是束缚的（蓝色点）

所以，我们通过合理构建势能函数，实现了在连续谱中的束缚态。这种能量非常高，但是依然局域的态，自然深受科学家关注，意味着我们可以将高能的粒子完美的束缚住。

以上就是BIC 的量子前世了，和我们后面要研究的光学BIC 有相似之处，但是又有非常大的不同，特别的是，光学BIC 目前只能在一、两个方向进行局域，总有一个方向是延展的，这和我们理解的束缚其实有很大的不同，这也是我之前理解的很不透彻的缘故之一吧，这个留在下一个笔记再说。

下一个笔记，我将介绍下，光学的BIC 是如何构建的，以及其为啥如此的受到大家的关注。

本篇笔记的代码地址：

OpenScholar

参考文献

1. 复旦大学石磊老师的哔站视频
2. C. W. Hsu, B. Zhen, A. D. Stone, J. D. Joannopoulos, and M. Soljačić, Bound states in the continuum, Nat Rev Mater 1, 9 (2016).
3. J. Wang, P. Li, X. Zhao, Z. Qian, X. Wang, F. Wang, X. Zhou, D. Han, C. Peng, L. Shi, and J. Zi, Optical bound states in the continuum in periodic structures: mechanisms, effects, and applications, PI 3, R01 (2024).