BIC的前世今生之“量子前世”

最近开始和我的合作者研究BIC 了，说来惭愧，这个光学领域的热点，我之前却连基本概念都理解的不清楚。最近系统的看了一些综述论文、报告，总算是理解了背后的奥秘。我觉得我的困惑是具有代表性的，因此也将我的学习心得写在这里，供大家批评指正。

要理解BIC，我们一定得先理解其基本概念，

Bound states in the continuum

这其实一共有两个概念：束缚态+连续谱

（当然，这句话像个废话···）

那么什么是连续谱，什么是束缚态呢？大家一定首先会拿出综述文章的这个图

在这个图中，低能量区域，存在分立的束缚态，这种是正常的束缚态。

在能量高的地方，形成了一个连续谱，这里的态密度非常高，情况也很复杂：

首先最多的态，就是延展态，波函数延展到空间里面去。
还有一些半延展、半束缚的态，叫做Leaky Mode（你可以想想一个半透谐振腔，虽然光场也很好的局域，但是还是有泄露通道）
最后，就是完美局域的束缚态了，也是我们的主角。

那么你就会问（我自己之前不太懂）：

为啥一定是高能区域才是连续谱，低能区域局域就没啥问题呢？

这个连续谱分布，光学里面似乎也不是这样啊？

是的，这其实是我最开始疑惑的地方，啥叫连续谱啊？

这其实是量子力学没学好综合征。

在量子力学里面，我们会有一个经典模型，叫做无限深势阱，就是下面这样的一个东西，通过求解这个系统的本质能谱和对应的波函数，我们其实就可以很清楚的知道，啥叫连续谱了。这也是这个笔记的核心内容，即搞清楚光学BIC 的量子前世。

一维无限深势阱模型

如上图所示，我们用一维的无限深势阱模型来说明：

一维无限深势阱模型，其势能表示为

$V(x) = \begin{cases} - V_0, & |x| < a \\ 0, & |x| > a \end{cases}$

其中会取得非常大，其中的粒子满足薛定谔方程

$-\frac{d^2 \psi}{dx^2} + V(x)\psi = E\psi$

接下来我们需要求解这个粒子的本征能谱和波函数，如何求解呢？可以借用我之前的笔记，即通过差分法，来计算本征波函数。

得到的本征能谱如下：

左边的图，是将所有的能量总小到大绘制出来，右边的红色横线，其实就是为了直观，将能量的分布用横线的方式进行了绘制，横线越密集，代表态越多。观察以上本征能谱，我们可以发现，本征能谱分为两个区域：

在能量小于 0 的区域，能级是分立的，只有三个能级；

在能量大于 0 的区域，能级非常稠密，这个稠密的区域，其实就是连续谱，啥叫连续？就是能级靠的如此近，以至于像一个连续的区域。

这里还只是看能谱，如果我们看不同能级的本征态，就可以更加理解，为啥叫束缚态、延展态，首先看三个能量小于 0 的本征态：

可以看到，三个态都是局域的、束缚的。而能量大于 0 的态呢？

全部都是延展的。因此，通过这个无限深势阱模型，我们有了这样的结论：

一般来说，系统的能谱可以分为两个典型区域，即能量小于 0 的区域，这个区域，由于能量太小，所以粒子的本征态是局域的，出不去的。

一旦这个粒子的能量E高过0，那么粒子就可以跑出这个势阱，跑到非常远的地方。

当然，关于这个结论，可以参见复旦大学石磊老师的PPT 和报告：

《月盈则亏，水满则溢》

一旦能量很高，粒子就可以跑出来，并且能量高之后，边界的约束性质就会变弱，此时能量就不再是那种分立谱，而是连续谱，即基本上取连续的能量，都可以延展。

特殊势阱分布构建BIC

针对上述结论，冯诺依曼和维格娜两人，提出，可以通过合理构建我们的势能函数，让系统在连续谱里面也存在束缚态，这就是最早的连续谱中的束缚态模型：

这也是一般综述文献会重点提及的工作：

那么他们是怎么做的呢？他们的出发点是，如果要在连续谱中存在束缚态，就得让这个本征态的波函数是可积的，不发散的，基于此，他们反向推导了一个势能函数：

$V(r) = k^2 + \frac{u''(r)}{u(r)}\\$

其中

$u(r) = \sin(k r)f(r) \\ f(r) = \frac{1}{1 + c \int_0^r \sin^2(k s), ds}$

这个函数的分布长啥样呢？

有点奇形怪状的，当我们求解这个函数下的本征能谱和本征态时，我们发现，

其所有能量都大于 0 了，特别的，我还标注了一个蓝色的能级，这个能级其本征态虽然看起来在连续谱中，但是其本征态确实束缚的。我们首先看大部分的连续谱态的波函数，基本都是延展的

但是也存在一个态，其本征态是束缚的（蓝色点）

所以，我们通过合理构建势能函数，实现了在连续谱中的束缚态。这种能量非常高，但是依然局域的态，自然深受科学家关注，意味着我们可以将高能的粒子完美的束缚住。

以上就是BIC 的量子前世了，和我们后面要研究的光学BIC 有相似之处，但是又有非常大的不同，特别的是，光学BIC 目前只能在一、两个方向进行局域，总有一个方向是延展的，这和我们理解的束缚其实有很大的不同，这也是我之前理解的很不透彻的缘故之一吧，这个留在下一个笔记再说。

下一个笔记，我将介绍下，光学的BIC 是如何构建的，以及其为啥如此的受到大家的关注。

本篇笔记的代码地址：

OpenScholar

参考文献

复旦大学石磊老师的哔站视频
C. W. Hsu, B. Zhen, A. D. Stone, J. D. Joannopoulos, and M. Soljačić, Bound states in the continuum, Nat Rev Mater 1, 9 (2016).
J. Wang, P. Li, X. Zhao, Z. Qian, X. Wang, F. Wang, X. Zhou, D. Han, C. Peng, L. Shi, and J. Zi, Optical bound states in the continuum in periodic structures: mechanisms, effects, and applications, PI 3, R01 (2024).